המעין

הרב ד"ר מרדכי הלפרין

סוכה העשויה ככבשן, דייני דקיסרי, רבי יוחנן ואמוראי בבל

 

"אמר רבי יוחנן: סוכה העשויה ככבשן –
אם יש בהיקפה כדי לישב בה כ"ד בני אדם – כשרה,
ואם לאו – פסולה". (סוכה ז, ב)
"היינו ד[רבי יוחנן] לא דק, ולחומרא לא דק".
"רבנן דקיסרי, ואמרי לה דייני דקיסרי אמרי:
עיגולא דנפיק מגו ריבועא - רבעא,
ריבועא, דנפיק מגו עיגולא - פלגא.
ולא היא. דהא קחזינן דלא הוי כולי האי". (שם ח, א-ב)

 

מבוא

ארבעת הקשיים

החידושים הנלמדים מדברי רבי יוחנן

ארבעת הפתרונות

מקור ההבדלים בין הבנת חכמי בבל להבנת חכמי ארץ ישראל

סוגיית חלון – עירובין עו, א-ב

סיכום

 

מבוא

על סוגית "סוכה העשויה ככבשן" נשברו הרבה קולמוסים[1]. נקודת המוצא של חלק מההסברים הייתה צורך אפולוגטי ליישב קשיים הנובעים מהבדלים-לכאורה בין דברי חז"ל בגמרא לבין ידע גיאומטרי בסיסי. לאחרונה למדתי ולימדתי סוגיא זו, ולאחר העיון נוכחתי כי מדובר באחת הסוגיות הקלות והפשוטות - בתנאי שיוצאים באופן מסודר מתוך הנחות יסוד נכונות.

סוגיית הבבלי במסכת סוכה מורכבת משלושה חלקים:

החלק הראשון: דברי רבי יוחנן על הדרך המעשית לוודא הכשר של סוכה העשויה ככבשן. (סוכה ז, ב)

החלק השני: דיון של אמוראי בבל בניסיון להבין את רבי יוחנן, עם המסקנה על פיה דברי רבי יוחנן לא מדוייקים. (סוכה ז, ב – ח, א)

החלק השלישי: שני כללים של דייני דקיסרי העוסקים בעיגול וריבוע החוסמים זה את זה. (סוכה ח, א – ח, ב)

 

ארבעת הקשיים

הקושי הראשון: היעדר דיוק של יחס ההיקף לקוטר (ערכו של p ) ושל מידת האלכסון (ערכו של ). יחס ההיקפים בין ריבוע חוסם למעגל החסום בתוכו מוצג במשנה (אהלות יב, ו) ומובא גם בסוגייתנו (סוכה ח, א) כ-4/3. יחס זה בין היקף ריבוע חוֹסם להיקף עיגול חסוּם, מבוסס על הקשר בין היקף העיגול לקוטרו, והוא מדויק רק בהנחה ש- p =3 בדיוק[2]. הנחה זו מובעת במפורש בלשון חז"ל: "כל שיש בהקיפו שלושה טפחים יש בו רוחב טפח" (סוכה ז, ב וש"נ), או בלשון המשנה באהלות שם "כמה יהא בהקֵפה ויהא בה פותח טפח? בזמן שהיא עגולה – הקֵפה שלושה טפחים". על סמך יחס זה מְחשבת המשנה את יחס ההיקפים בין ריבוע חוסם לבין העיגול החסום בתוכו. המשנה דנה ביחסים שבין היקף ריבוע לאורך צלעו, היקף עיגול לקוטרו, והיחס בין שני היחסים: "כמה יהא בהקֵפה ויהא בה פותח טפח? בזמן שהיא עגולה – הקֵפה שלושה טפחים. בזמן שהיא מרובעת – ארבעה. שהמרובע יתר על העיגול רביע" [מהריבוע].

אולם כידוע, הנחת הבסיס, על פיה p =3 איננה מדויקת, וקירוב טוב יותר לערכו של p הוא 22/7 (3 ושביעית). את עצם אי הדיוק ניתן להוכיח בקלות על ידי מחוגה, חוט מדידה וסרגל, וכן ע"י בניית משושה שווה-צלעות חסום בתוך עיגול, שאז היקף המשושה שווה בדיוק לשלוש פעמים הקוטר. היקף המשושה החסום תמיד קטן יותר מהיקף העיגול החוסם, מכאן שהיקף העיגול הוא יותר מ 3 פעמים אורך הקוטר[3].

 

 

 

 

קושי דומה קיים גם לגבי קביעת חז"ל על היחס בין צלע ריבוע לאלכסונו: "כל אמתא בריבועא אמתא ותרי חומשא באלכסונא" (סוכה ח, א וש"נ). ניתן להראות בקלות שיחס זה זהה לשורש הריבועי של 2 ( ). ערך זה גדול מ-1+2/5=1.4 המוזכר בדברי חז"ל, כפי שכבר הוכיחו ראשונים רבים, ביניהם בעלי התוספות על אתר[4].

הקושי השני: המופרכות לכאורה של דברי דייני דקיסרי. איך יתכן שדייני דקיסרי קבעו בנוסחתם השנייה כלל מופרך של יחסי היקף עיגול חוסם לריבוע חסום, על פיו יחס ההיקפים בין עיגול חוסם לבין ריבוע החסום בתוכו שווה ל-1.5 (3/2), נוסחה שהיא רחוקה מאוד מהמציאות ופשוט אינה נכונה, כדברי הגמרא (סוכה ח, ב) "ולא היא!", בשעה שניתן בקלות להראות שהיחס הנכון הוא 2.1/2 (1.05) ולא 3/2 (1.5)[5]?

 

 

ברור לכל כי לא סביר להניח שדייני דקיסרי טעו בדבר פשוט כל כך, וכבר עמדו על כך הראשונים על אתר. לכן מצוה להבין הן את כוונתם של דייני דקיסרי, והן את הסיבה לכך שחכמי בבל הבינו אחרת את דבריהם.

יתר על כן. הכלל הראשון של דייני דקיסרי על יחס היקפים בין היקף בין ריבוע חוֹסם להיקף עיגול חסוּם בתוכו: "עיגולא דנפיק מגו ריבועא – ריבעא" [מהריבוע], הינו משנה מפורשת במסכת אהלות הנ"ל, ואין בו שום חידוש! הוי אומר: כללם הראשון של דייני דקיסרי מועתק מדברי המשנה ואין בו חידוש, וכללם השני פשוט מופרך, כדברי הגמרא בסוכה[6].

הקושי השלישי: העדר דיוק לכאורה בקביעת רבי יוחנן. בסוגייתנו מובאות קושיות הגמרא על רבי יוחנן, כאשר גם אחרי מאמצים ואוקימתות נשארה המסקנה כי דברי רבי יוחנן אינם מתאימים לדקדוק החשבון, כך שחייבים לומר כי רבי יוחנן לא דק (לחומרא).

הקושי הרביעי: למה בכלל הוצרכה הגמרא להביא את כללי דייני דקיסרי? הרי לכאורה אין קשר בין דברי רבי יוחנן לכלל "המופרך" של דייני דקיסרי, ואם כן למה הובאו כאן?

 

החידושים הנלמדים מדברי רבי יוחנן

הסוגיא מתחילה בדברי רבי יוחנן, המחדש שלושה דברים:

רבי יוחנן סובר כרבי, ששטחה המינימלי של סוכה כשרה חייב לכלול בתוכו ריבוע של ארבע אמות על ארבע אמות, ולא די בשבעה על שבעה טפחים.

כמו כן מחדש רבי יוחנן שאין הכרח שהסוכה תהיה בעלת כמה צלעות ישרות, אלא גם סוכה עגולה שיש לה בעצם רק צלע אחת (עגולה) גם היא נחשבת לסוכה כשרה, אם ניתן להכניס לתוכה ריבוע של ארבע על ארבע אמות (בניגוד לדעת "אחרים" בברייתא שם ז, ב).

החידוש השלישי של רבי יוחנן הוא הנחייה מעשית, איך לוודא בצורה פשוטה שהסוכה העגולה מכילה ריבוע של ד' אמות על ד' אמות ולכן היא כשרה, באמצעות הושבת 24 אנשים.

מכאן ניתן להתחיל לפתור את ארבעת הקשיים.

 

ארבעת הפתרונות

פתרון הקושי הראשון: קביעה הלכתית של רמת הדיוק. לצורך החישובים הנוגעים לסוגיא אנו נזקקים להגדרת הקירוב הנדרש לשני ערכים:

הערך הראשון הוא ערך היחס בין הקף המעגל לבין הקוטר שלו (לעיתים משתמשים באורך רדיוס המעגל – r , שמוגדר כחצי הקוטר). מקובל להגדיר יחס זה באות היוונית p (פּאי)[7].

הערך השני הוא היחס שבין אורך אלכסון הריבוע לבין אורך צלע הריבוע. ניתן להוכיח בקלות יחסית (משפט פיתגורס) שיחס זה הוא השורש הריבועי של 2 ( ).

שני ערכים אלו ידועים כמספרים לא רציונליים, כלומר כמספרים שלא ניתן לכתוב אותם בדיוק מלא, אלא רק בקירובים נדרשים בהתאם לצרכי השימוש בהם[8]. כמו שהסביר הרמב"ם בפירוש המשנה עירובין א, ה (תרגום הרב קפאח):

"צריך אתה לידע שיחס קוטר העיגול להיקפו – בלתי ידוע. ואי אפשר לדבר עליו לעולם בדיוק. ואין זה חסרון ידיעה מצידנו כמו שחושבים הסכלים, אלא שדבר זה מצד טבעו בלתי נודע, ואין במציאות שיוודע. אבל אפשר לשערו בקירוב"...

משום כך, לכל מערכת ביצועית יש לקבוע את רמת הדיוק הנדרשת של ערכים אלה, בהתאם לצרכיה. לאור זאת, מוסיף הרמב"ם בפירוש המשנה שם[9]:

"וכיון שזה [ערכו המדוייק של p ] לא יושג לגמרי אלא בקירוב, תפשו הם [חז"ל] בחשבון גדול [=בקירוב של הספרות השלמות] ואמרו 'כל שיש בהיקפו שלושה טפחים יש בו רוחב טפח'[10], והסתפקו בזה בכל המדידות שהוצרכו להן בכל התורה".

במילים אחרות, מבחינה הלכתית ערכים אלו אינם נחשבים כערכים מקורבים ולא-מדויקים כפי שהם מוגדרים במתמטיקה מופשטת, אלא הם מהווים ערכים מחייבים בין לחומרא ובין לקולא לגבי "כל המדידות שהוצרכו להן בכל התורה" כלשון הרמב"ם בפירוש המשנה, וכמו שפסק בהלכות טומאת מת כמובא להלן.

עיקרון דומה מובא בתוספות הרא"ש עירובין דף יד עמוד א:

"כל שיש בהקיפו שלושה יש בו רוחב טפח. מנא הני מילי. תמיה לי, מה שייך למיבעי הכא מנא הני מילי בדבר הנראה לעיניים ואדם יכול לעמוד עליו, יביאו דבר שהוא רחב טפח ונמדוד ההיקף? ונ"ל לפרש לפי שאין הדבר מכוון, שההיקף הוא יותר מג' טפחים, קא בעי תלמודא מנה"מ, מנין לקחו חכמים ליתן גבול ומדה לדבר אחד אף על פי שאינו מכוון אלא שהדבר קרוב להיות מכוון. ומייתי ראיה דקרא נמי קא עביד הכי, דיָם של שלמה שהיה רחב עשר וקאמר קרא ד'קו שלשים אמה יסוב אותו' אף על פי שהוא ארוך יותר".

עיקרון הקירוב ההלכתי לגבי ערכו של p , שקירובו ההלכתי המחייב נקבע להיות p =3, הופעל גם לגבי ערכו של , שקירובו ההלכתי המחייב נקבע להיות = 1.4[11].

גם החזון אי"ש (או"ח קלח, ד) הגדיר כך את הדברים כעיקרון הלכתי:

"דזהו ["כל אמתא בריבועא אמתא ותרי חומשא באלכסונא"] בכלל שיעורין. ונִתנה הלכה לחשוב בקירוב, שלא נתנו המצות אלא לצרף הבריות ולדקדק בצוואותיו יתברך... ולכל הני אינו מפסיד אם הקביעות של גבולי הצמצום יהיה בקירוב, כדי שיוכלו לקיים מצוות המעשיות אף חלושי הדעת".

וכבר קדמו הרשב"ץ בשו"ת תשב"ץ חלק א סימן קסה בטעמו הראשון, הן לעניין ערך p והן לעניין יחס האלכסון לצלע הריבוע:

"אלא יש לנו לומר אחד משני דברים. או שקבלתן כך הייתה ללכת ע"פ דרכים אלו ואף על פי שיש בהם קירוב, דהא שיעורין הלכה למשה מסיני הם כדאיתא בעירובין (ד, א) ובסוכה (ה, ב) ובדוכתי אחריתי. ואפשר לומר שכך נאמרה הלכה למשה מסיני כמ"ש בקידושין (לט, א) על ענין אחר. והטעם בזה לפי שלא ניתנה התורה למלאכי השרת, כמ"ש בברכות (כה, ב) ובקידושין (נד, א) על עניינים אחרים. ושמא כך נמסרה להם הלכה, שיתנהגו על עיקרים אלו אף על פי שיש בהם קירוב כאילו הם מדוקדקים".

את העיקרון ההלכתי הדגיש הרמב"ם ביד החזקה, הלכות טומאת מת (פרק יב הלכה ח):

"זה שהצריכו עשרים וארבעה טפחים, על העיקרין שסומכים עליהן חכמים בחשבון כל המשפטים[12] שכל שיש בהיקפו שלושה יש בו רוחב טפח, וכל טפח על טפח ברבוע יש באלכסונו טפח ושני חומשין".

בכך קבלנו תשובה עקרונית ברורה לקושי הראשון. אף שערכו המדויק של p הוא קצת יותר מ-3; וכן ערכו המדוייק של הוא קצת יותר מ-1.4, בכל זאת קיים כלל הלכתי שמקורו בהלכה למשה מסיני (לדעת החזון אי"ש ולדעה המובאת ברשב"ץ) או בדברי נביאים (לדעת הרא"ש) או בתקנת חכמים (לדעת הרמב"ם), כלל הקובע כי לכל הצרכים ההלכתיים, בין לקולא בין לחומרא, יש להשתמש בקירובים הללו "כאילו הם מדוקדקים"[13].

פתרון הקושי השני: כללי דייני דקיסרי עוסקים ביחסי שטחים בין עיגול וריבוע ולא ביחסי היקפים. עיון בדברי דייני דקיסרי מראה כי שני כלליהם לא עוסקים ביחסי היקפים בין חוסם לנחסם כפי שהועבר בטעות לחכמי בבל, אלא ביחסי שטחים[14] בין חוסם לנחסם.

עיגול חסוּם: עובדה מפתיעה היא כי כאשר מדובר בעיגול החסוּם בתוך ריבוע, יחס ההיקפים זהה לחלוטין ליחס השטחים. עובדה מפתיעה זו סייעה מאוד למסירה מוטעית, כפי שיוסבר להלן. בשני המקרים יש להוריד רבע מהיקף הריבוע החוֹסם או רבע משטחו ("עיגולא דנפיק מגו ריבועא – רבעא"), כדי לקבל את היקף העיגול החסוּם או את שטח העיגול החסוּם, בהתאמה. היחס בשני המקרים הוא 4/3 לטובת הריבוע החוסם[15].

 

 

 

עיגול חוֹסם: נעבור לבחינת הכלל השני של דייני דקיסרי – "ריבועא מגו עיגולא" (ריבוע מתוך עיגול) – עיגול חוֹסם וריבוע נחסם בתוכו.

 

 

 

 

בדיקה פשוטה מראה כי יחס השטחים בין העיגול החוסם לריבוע החסום הוא 3/2 או 1.5[16], בדיוק כפי שקבעו דייני דקיסרי: "ריבועא, דנפיק מגו עיגולא - פלגא", דהיינו, כדי לקבל את שיטחו של העיגול החוֹסם יש להוסיף 50% (חצי) לשטח הריבוע החסוּם. דייני דקיסרי פשוט קבעו כלל יחסי-שטחים מדויק.

במילים אחרות, דייני דקיסרי לא עסקו ביחסי היקפים בין מעגל וריבוע החוסמים אחד את השני (כפי שנמסר בטעות לחכמי הבבלי), אלא ביחסי שטחים. ולכן דבריהם נכונים ומדויקים בשני הכללים שקבעו, ע"פ הקירוב ההלכתי המחייב, שהוא: p =3[17].

מכאן שגם כללם הראשון של דייני דקיסרי איננו העתק כלל ההיקפים של המשנה באהלות, אלא הוא כלל חדש ביחסים בין שטחים של ריבוע חוֹסם לעומת עיגול חסוּם, אף שלמרבה ההפתעה יחס שטחים זה (4/3) זהה ליחס ההיקפים המוזכר במשנה. עובדה מפתיעה זו היא שפותחת פתח לטעויות בהבנת ובמסירת דבריהם של דייני דקיסרי.

רק כתוצאה ממסירה לא מדויקת, שהתאפשרה בגלל העובדה המפתיעה הנ"ל, הוטעו חכמי הבבלי להבין כי כללי דייני דקיסרי עוסקים ביחסי היקפים בין ריבוע ומעגל החוסמים זה את זה. רק לפי מסירה משובשת זו הכלל הראשון של דייני דקיסרי התפרש כזהה לחלוטין לכלל המשנה באהלות ללא שום חידוש, ואילו הכלל השני התפרש כאילו יחס ההיקפים בין עיגול חוסם לבין ריבוע חסום בתוכו שווה ל-3/2, דבר מופרך ורחוק מאוד מהמציאות, כפי שכבר מבואר בגמרא. בכך מיושב היטב גם הקושי השני.

פתרון הקושי השלישי: רבי יוחנן הציע למדוד את שטח הסוכה ולא את היקפה! בארץ ישראל, בהסתמכו על כלל יחסי השטחים השני של דייני דקיסרי, הציע רבי יוחנן פתרון מעשי להתגברות על הקושי במדידה של שטח סוכה עגולה. הקושי המעשי ברור: בניגוד לסוכה מרובעת בה ע"י מדידת אורך צלעות הסוכה ניתן לבדוק בקלות אם היא מקיימת את תנאי השטח המינימלי של 4X 4 אמות, בסוכה עגולה שאין לה צלעות אין דרך מדידה פשוטה המראה אם הסוכה מכילה בתוכה ריבוע כזה.

פתרונו המעשי של רבי יוחנן היה: מדידה מעשית פשוטה של שטח הסוכה העגולה בהושבת 24 אנשים בה, ולא מדידת היקף הסוכה. בלשונו של רבי יוחנן: "אם יש בהיקפה כדי לישב בה כ"ד בני אדם – כשרה". דהיינו: אם ההיקף מספיק גדול עד כדי שניתן להושיב בתוך הסוכה – "בה"[18]- 24 אנשים – הסוכה כשרה.

במילים אחרות, רבי יוחנן מציע כי נמדוד בקלות את שטח הסוכה העגולה באמצעות הושבת אנשים בתוכה, ולפי מידת שטח הסוכה (השווה למספר האנשים שניתן להושיב בה) נדע מייד אם יש בה ריבוע של ד' על ד' אמות. לצורך המדידה השתמש רבי יוחנן בכלל הידוע המובא גם כאן בסוגיא, על פיו "גברא באמתא יתיב". כלומר, השטח אותו תופס אדם יושב ('ישיבה מזרחית'[19]) – הוא אמה על אמה. לפי היחס שנקבע בדברי דייני דקיסרי, סוכה עגולה אשר יכולה לקלוט בתוכה 24 אנשים יושבים שטחה הוא 24 אמות מרובעות, ולכן יש בה ריבוע חסום בשטח של 16 אמה מרובעות, שהוא ריבוע של ד' על ד' אמות. סוכה כזו היא כשרה. לפי הסבר פשוט זה דברי רבי יוחנן מדויקים להפליא לפי עקרונות הקירוב ההלכתי שהובאו למעלה ביישוב הקושי הראשון.

משמעות המושג "יש בהיקף" בשפתו של רבי יוחנן: בלשון המשנה (עירובין א, ה; אהלות יב, ו) משמעות המילים "יש בהיקף" היא: יש באורך ההיקף. אולם לגבי דברי רבי יוחנן, לפחות שני קדמונים פירשו את עצם המונח "יש בהיקפו" של החלון במסכת עירובין שהכוונה לשטח שנמצא בתוך ההיקף, ולא לאורך של קו ההיקף העגול. כך הבינו הרי"ף והרז"ה את מילותיו של רבי יוחנן (עירובין עו, א) "שיש בהיקיפו כ"ד" – שיש בתוך ההיקף שטח ["תשבורת"] של כ"ד:

"כי כשאמר רבי יוחנן 'צריך שיהיה בהקיפו כ"ד טפחים' לא אמר בהיקף החוט הסובב את העיגול כמו שאמרו במקום אחר 'כל שיש בהקיפו ג' טפחים יש בו רוחב טפח'. אבל הקף זה האמור בדברי רבי יוחנן, צריך שיהיה בהקיפו כ"ד, רוצה לומר: בהערכתו בריבוע... כאילו אמר בריבועו או בתשבורתו... ויהיה המרובע שבתוך העיגול הזה –י"ו"...(הרי"ף[20]).

"אלא מה שאמר רבי יוחנן חלון עגול צריך שיהיה בהקפו עשרים וארבעה טפחים, לאו בהיקף חוט הסובב קאמר, אלא לשון הקף פירושו שיבור, ר"ל שבתשבורת שלו יש עשרים וארבעה טפחים... רצה לומר שחלון עגול יהא תשברתו כ"ד טפחים – יהיה מרובע שבתוכו ששה עשר טפחים בתשבורת, שיהיה שורשם ארבעה על ארבעה" (הרז"ה[21]).

הרי שגם את דברי רבי יוחנן בסוכה העשויה ככבשן "אם יש בהקיפה כדי..." ראוי לפרש כמתייחסים לשטח הסוכה העגולה ולא לאורך קו היקפה, אף שהבנה זו שונה מהבנת תלמודא דידן. לפי הבנה זו דברי רבי יוחנן מדויקים להפליא[22], וניתן להראות כי גם בסוכה עגולה דברי רבי יוחנן נובעים ישירות מדבריהם המדויקים של דייני דקיסרי, וכדלהלן.

פתרון הקושי הרביעי: רבי יוחנן הסתמך על דייני דקיסרי בקביעתו החשבונית. ביארנו בפתרון הקושי השני (פיסקה ב) כי שני הכללים של דייני דקיסרי עוסקים ביחסי שטחים בין עיגול וריבוע ולא ביחסי היקפים. ממילא כללם השני של דייני דקיסרי" ריבועא, דנפיק מגו עיגולא – פלגא", קובע כי כדי לקבל את שיטחו של העיגול החוֹסם, יש להוסיף 50% (חצי) לשטח הריבוע החסוּם בתוכו.

קל להבחין כי קביעתו של רבי יוחנן נגזרת ישירות מהכלל השני של דייני דקיסרי: כשיש לנו סוכה עגולה, וכדי להכשירה נדרש קיום של ריבוע חסום בתוכה של 4x 4 אמות, לפי כללם של דייני דקיסרי על שטח הסוכה העגולה להיות גדול ב50% (פלגא) משטח הריבוע החסום בתוכה.

מאחר ושטחו של ריבוע בן 4 על 4 אמות הוא 16 אמה, הרי ששטח סוכה עגולה החוסמת את העיגול צריך להיות לפחות 24 אמות מרובעות. בדיוק כפי שקבע רבי יוחנן.

מובן איפוא למה הובאו כאן דברי דייני דקיסרי - כללם השני הוא בעצם הבסיס לקביעת רבי יוחנן[23].

אין ספק כי רבי יוחנן, כמי שחי בארץ ישראל והיה הולך אצל רבי הושעיא רבה לקיסרי ללמוד תורה[24], הכיר אישית את הנוסחה שפירסמו דייני דקיסרי[25], וממילא לא הוטעה על ידי מסירה משובשת כמו זו שהגיעה לבבל. רבי יוחנן ידע כי דייני דקיסרי עסקו בחישוב שטחים בין עיגול וריבוע החוסמים זה את זה, ולא בחישוב היקפים כמו שנמסר בטעות לחכמי הבבלי. מתוך ידיעה זו יכול היה רבי יוחנן להסתמך על אותם חישובים בהם השתמשו דייני דקיסרי, כדי להציע פתרון מעשי פשוט לבעיית המדידה ההלכתית של סוכה עגולה, הנדרשת להכיל ריבוע של 4 על 4 אמות.

נעיר כי אם כלליהם של דייני דקיסרי (המובאים בסוף דף ח, א) הם הבסיס לדברי רבי יוחנן, אזי מקומם הענייני היה צריך להיות מייד אחרי דברי רבי יוחנן בדף ז, ב, לפני תחילת השקלא וטריא של אמוראי בבל על "אי הדיוק" בדברי רבי יוחנן. אולם משום שדרך התלמוד במקומות רבים להפסיק באמצע משנה, ברייתא או מימרא כדי להבהיר את החלק הראשון שלה לפני השלמת הציטוט, הובאו בדברי דייני דקיסרי רק בסוף הסוגיא אחרי הדיון בהבהרות, בדומה למקומם בסוגיית חלון במסכת עירובין.

 

מקור ההבדלים בין הבנת חכמי בבל להבנת חכמי ארץ ישראל:

כאמור, הסיבה להבדלי הבנת דייני דקיסרי בין חכמי בבל לבין רבי יוחנן מקורה בכך, שלא כמו לרבי יוחנן שהכיר את דברי דייני דקיסרי במקורם, לחכמי בבל לא נמסרו נוסחאות דייני דקיסרי כנוסחאות יחסי שטחים, אלא כנוסחאות יחסי היקפים, מסירה שנתמכה לכאורה על ידי "העובדה המפתיעה" שצוינה לעיל. כתוצאה מכך חכמי בבל הבינו כי דייני דקיסרי עוסקים אך ורק ביחסי היקפים, ולא בייחסי שטחים. דברי רבי יוחנן הועברו לבבל בצמידות לכללי דייני דקיסרי שהם המקור לדברי רבי יוחנן כאמור. התוצאה: כשם שחכמי בבל הבינו את דברי דייני דקיסרי ככללים של יחסי היקפים, כך גם הבינו גם את דברי רבי יוחנן הנסמך על נוסחת דייני דקיסרי, כמציע בדיקת היקף של סוכה עגולה כדרך לבדיקת כשרותה.

התוצאה: הדיון בסוגיה שעסק בקשר בין אורך ההיקף הנדרש ע"פ רבי יוחנן, לבין אורך ההיקף הנדרש על פי חישוב גיאומטרי לקיום ריבוע חסום של ד' על ד' אמות, השאיר את דברי רבי יוחנן כלא מדויקים, ואת דברי דייני דקיסרי כמופרכים.

לעומת זאת בארץ ישראל[26] רבי יוחנן הכיר היטב את נוסחת דייני דקיסרי על יחסי השטחים בין עיגול חוסם לריבוע חסום בתוכו, ועל פיה הורה לבצע מדידת שטח סוכה עגולה באמצעות הושבת אנשים בתוכה. התוצאה: קביעת רבי יוחנן המבוססת על נוסחת דייני דקיסרי נמצאת מדויקת לחלוטין (בגבולות הערך המקורב ההלכתי שנקבע ל p ), ומאפשרת בדיקה פשוטה לאישור כשרות סוכה עגולה כאשר שטח העיגול הוא לפחות 24 אמות מרובעות.

 

סוגיית חלון – עירובין עו, א-ב

שתי אמירות אמר רבי יוחנן לגבי חישוב הלכתי הנוגע למבנה עגול. במסכת סוכה (ז, ב) המבנה העגול הוא סוכה עגולה, ובמסכת עירובין (עו, א) המבנה העגול הוא חלון שבין שתי חצרות.

דמיון נוסף בין שתי אמירותיו של רבי יוחנן, הוא העובדה ששתיהן מתבססות על הנוסחה השניה של דייני דקיסרי. בסוגיית סוכה כמבואר לעיל, ובסוגיית חלון כמפורש בגמרא בעירובין עו, ב.

בסוגיית סוכה מסר לנו רבי יוחנן כלי מדידה יעיל לבחינת כשרותה של כל סוכה עגולה. כלומר: כל סוכה עגולה ניתן להפעיל עליה את שיטת הבדיקה של רבי יוחנן ולדעת אם היא כשרה או פסולה, כמבואר למעלה בפתרון לקושי השלישי.

באופן דומה, לגבי חלון עגול שבין שתי חצרות רבי יוחנן מציג נוסחה חשבונית גיאומטרית, אשר אם היא מתקיימת ברור לנו שהחלון בין שתי החצרות עומד בדרישות המינימום המאפשרות עירוב משותף.

כללי סוגיית חלון העוסקת בהלכות מחיצה שבין שתי חצרות, הם:

אם גובה המחיצה הוא פחות מעשרה טפחים – שתי החצרות מעורבות ונחשבות לחצר אחת לעניין עירובי חצרות. בלשון המשנה (פ"ז מ"ב): "מערבין אחד ואין מערבין שנים".

אם גובה המחיצה לכל אורכה הוא עשרה טפחים ומעלה – החצרות הן נפרדות לעניין עירובי חצרות. בלשון המשנה (פ"ז מ"א): "מערבין שנים ואין מערבין אחד".

אם גובה חלק מהמחיצה עשרה טפחים ומעלה, וגובה החלק האחר הוא פחות מעשרה טפחים, אזי: אם אורך הקטע הנמוך של המחיצה הוא פחות מארבעה טפחים – המחיצה נחשבת למחיצה שלמה, החצרות נפרדות, ולכן "מערבין שנים ואין מערבין אחד"; אם אורך הקטע הנמוך של המחיצה הוא יותר מעשר אמות – המחיצה נחשבת כפרוצה, החצרות מעורבות, ולכן "מערבין אחד ואין מערבין שנים"; ואם אורך הקטע הנמוך של המחיצה הוא בין ארבעה טפחים לעשר אמות – המחיצה נחשבת כמחיצה שלמה שיש בה פתח, ולכן "מערבין שנים, ואם רצו מערבין אחד".

כאשר קיימת מחיצה בין החצרות, ובה חלון, צריכים להתקיים שני תנאים על מנת שהחלון יחשב פתח ויאפשר לערב בין החצרות (עירובין פ"ז מ"א):

תנאי ראשון: שהחלון ימעט את המחיצה לגובה של פחות מעשרה טפחים על פני אורך של ארבעה טפחים לפחות.

תנאי שני: שגובהו של החלון בקטע הממעט את המחיצה יהיה ארבעה טפחים לפחות.

כאשר המחיצה שלמה אלא שיש בה חלון מרובע וחלקו התחתון נמוך מעשרה טפחים, אזי אם יש ברוחב החלון ארבעה טפחים וכן בגובהו – ניתן לערב את החצרות ו"מערבים שנים ואם רצו מערבין אחד", ואם אין ברוחב החלון ארבעה טפחים – החצרות נפרדות, ו"מערבין שנים ואין מערבין אחד".

כאשר המחיצה שלמה והחלון שבה איננו מרובע אלא עגול, אזי גם אם חלקו התחתון של החלון העגול נמוך מעשרה טפחים בכל זאת ניתן לערב את החצרות רק אם אורך קטע החלון שמתחת לקו עשרה טפחים הוא לפחות ארבעה טפחים, וגם זה בתנאי שגובה החלון בקטע זה הוא ארבעה טפחים לפחות. במילים אחרות: על החלון העגול להכיל ריבוע של ארבעה על ארבעה טפחים, ריבוע אשר חלקו התחתון ימעט את המחיצה מעשרה טפחים.

מכאן ניתן להבין בבהירות את דברי רבי יוחנן:

"אמר רבי יוחנן: חלון עגול – צריך שיהיה בהיקֵפו עשרים וארבעה טפחים, ושנים ומשהו מהם בתוך עשרה [טפחים], שאם ירבענו נמצא משהו בתוך עשרה".

במילים אחרות, רבי יוחנן מעמיד בפנינו שתי דרישות:

הדרישה הראשונה: שטחו של החלון המאפשר עירוב של שתי החצרות חייב להיות לפחות 24 טפחים מרובעים.

הדרישה השנייה: שטח החלק של חלון כזה שעליו לרדת אל מתחת לגובה 10 טפחים חייב להיות לפחות שני טפחים מרובעים ועוד משהו.

שתי הדרישות הללו נגזרות ישירות מנוסחת דייני דקיסרי, כפי שנמסר בגמרא (עו, ב).

הדרישה הראשונה – שרק חלון שיש בשטחו לפחות 24 טפחים מרובעים מכיל בתוכו ריבוע של ארבעה על ארבעה טפחים, נובעת ישירות מנוסחתם השנייה של דייני דקיסרי, בדיוק כדברי רבי יוחנן בסוכה עגולה.

גם הדרישה השנייה – שלפחות שני טפחים מרובעים (שהם 2/24 משטח החלון) + משהו יהיו מתחת לקו עשרת הטפחים, נלמדת ישירות מתוך נוסחתם השנייה של דייני דקיסרי, הקובעת כי שטח הריבוע החסום בתוך עיגול הוא 2/3 משטח העיגול החוסם את הריבוע (כלומר, שיש להוסיף מחצית משטח הריבוע כדי לקבל את שטח העיגול החוסם אותו).

מכאן, שעיגול ששיטחו הוא 24 טפחים מרובעים, שטח הריבוע החסום בתוכו הוא 16 טפחים מרובעים. קל לראות כי השטח שמתחת לבסיס הריבוע הוא רבע משטחי העיגול העודפים על הריבוע, שכן השטחים העודפים על הריבוע הם 24-16=8 טפחים מרובעים. מכאן ששטח החלק העודף מתחת לבסיס הריבוע הוא רבע מכל שטח העודף, כלומר שני טפחים מרובעים.

מכאן שאם שני טפחים מרובעים [+משהו] מתוך החלון יימצאו מתחת לקו גובה עשרת הטפחים של המחיצה, הרי שאורך הקטע הנמוך של המחיצה (מתחת לקו עשרה טפחים) יהיה ארבעה טפחים. לכן "אם רצו – מערבין אחד".

כך למדו למעשה גם הרי"ף וגם הרז"ה שהובאו לעיל בפתרון הקושי השלישי. כך למד גם הרב חיים שאול גריינימן בספרו חידושים וביאורים (מהדורת תשנ"ח, עירובין סי' י; סוכה סי' יג, ה) בהסתמכו גם על דברי הרי"ף והרז"ה[27].

אולם למרות הדמיון בין שתי הסוגיות, קיים הבדל מהותי בין דברי רבי יוחנן לגבי סוכה עגולה, לבין דבריו לגבי חלון עגול. לגבי סוכה עגולה רבי יוחנן מלמד אותנו לא רק את נוסחת היחסים בין עיגול חוסם לריבוע חסום, אלא גם מציע שיטת מדידת-שטח נוחה על ידי בדיקת היתכנות של הושבת 24 אנשים בתוך הסוכה העגולה, כך שאם התשובה חיובית – הסוכה כשרה. לעומת זאת בסוגיית חלון, רבי יוחנן לא מציע דרך מדידה מעשית של שטח החלון העגול, אלא רק מציג נוסחה חשבונית גיאומטרית, אשר אם היא מתקיימת אזי החלון בין שתי החצרות עומד בוודאות בדרישת המינימום המאפשרת עירוב משותף. כמו כן רבי יוחנן לא מציע דרך מדידה מעשית לכך שהחלק הנדרש של החלון נמצא מתחת לקו גובה עשרת הטפחים, אלא רק קובע את שטחו המינימלי של חלק זה.

אמנם המדידה המעשית של שני הנתונים הללו היא פשוטה: כדי לוודא ששטח החלון הוא 24 טפחים מרובעים, די בכך שהיקף החלון יהיה 16.8 טפחים (שבעה עשר טפחים פחות חומש) כמבואר בגמרא.

כמו כן כדי לוודא ששטח חלקו של החלון מתחת לקו עשרת הטפחים יהיה שני טפחים מרובעים ועוד משהו, די בכך שהמרחק האנכי בין תחתית החלון לבין קו עשרת הטפחים יהיה קצת יותר מארבע חמישיות טפח, שהוא ההפרש בין רדיוס החלון לבין המרחק בין מרכז החלון העגול לצלע התחתונה של ריבוע ה-4X 4 החסום ע"י היקף החלון. ובמספרים: 2.0 טפ' – 2.8 טפ' = 0.8 טפ' + משהו.

 

סיכום

רבו הגאונים והראשונים שפירשו את דברי דייני דקיסרין כמתייחסים לשטח, וכך סרה מהם תמיהת הגמרא בסוכה (ח, ב). ר' יוסף היינמן פירש לפני שמונים שנה גם את דברי רבי יוחנן בסוכה עגולה כמתייחסים רק לשטח, בהסתמכו על המילה "בה" ('כל שיש בהקיפה כדי לישב בה'...) כהוכחה לכך שרבי יוחנן מתכוון למדידת שטח הסוכה. לעומת זאת, את סוגיית עירובין הנעדרת מילה זו השאיר בצ"ע כבלתי מחוורת, בניגוד לסוגיית סוכה. היו שלאידך גיסא פירשו את סוגיית חלון בעירובין שהן דייני דקיסרי והן רבי יוחנן עוסקים בשטחים ולא באורך החוט המקיף, אך את דברי רבי יוחנן על סוגיית סוכה העשויה ככבשן השאירו כמתייחסים לחוט ההיקף, למרות הניסוח הזהה בשתי הסוגיות ("הקֵפו" בעירובין, ו"הקֵפה" בסוכה). במסגרת זו פירשנו את דברי רבי יוחנן בשתי הסוגיות כמתייחסים לשטחים. הוצג הסבר המבהיר את דברי דייני דקיסרי המדויקים, כמו גם את הקשר בין נוסחת דייני דקיסרי לבין דרישות רבי יוחנן הן בסוכה והן בעירובין, כשנוסחת החישוב של דייני דקיסרי היא בסיס ישיר לדרישות רבי יוחנן כפי שנובע מכללי חשבון פשוטים. ההסבר מתאים מאוד להבנת הרי"ף והרז"ה, ולפרשנותם המופלאה למושג "יש בהיקף" בדברי רבי יוחנן. על פי פירוש זה מדויקות מאוד דרישות רבי יוחנן הן בסוגיית 'סוכה העשויה ככבשן' שבמסכת סוכה, והן בסוגית 'חלון עגול שבין שתי חצרות' במסכת עירובין.

 

 

 

 

 

 

---